Главная | Мобильная версия сайта | Распечатать страницу| Какое число самое большое? | Регистрация | Вход
Приветствую Вас, Гость


Меню сайта
Поиск по сайту
Форма входа
Календарь
«  Ноябрь 2017  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
  12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
27282930
Время
Праздники
Праздники России
Фраза дня
Живой календарь
Местоположение

Корректно ответить на этот вопрос нельзя, поскольку числовой ряд не имеет верхнего предела. Так, к любому числу достаточно всего лишь прибавить единицу, чтобы получить число ещё большее. Хотя сами числа бесконечны, собственных названий у них не так уж и много, так как большинство из них довольствуются именами, составленными из чисел меньших. Так, например, числа 0 и  имеют собственные названия «единица» и «сто», а название числа  уже составное («сто один»). Понятно, что в конечном наборе чисел, которых человечество наградило собственным именем, должно быть какое-то наибольшее число. Но как оно называется и чему оно равно? Давайте же, попробуем в этом разобраться и заодно узнать, насколько большие числа придумали математики.
 

«Короткая» и «длинная» шкала


История современной системы наименования больших чисел ведёт начало с середины XV века, когда в Италии стали пользоваться словами «миллион» (дословно — большая тысяча) для тысячи в квадрате, «бимиллион» для миллиона в квадрате и «тримиллион» для миллиона в кубе. Об этой системе мы знаем благодаря французскому математику Николя Шюке (Nicolas Chuquet, ок. 1450 – ок. 1500): в своём трактате «Наука о числах» (Triparty en la science des nombres, 1484) он развил эту идею, предложив дальше воспользоваться латинскими количественными числительными (см. таблицу), добавляя их к окончанию «-иллион». Так, «бимиллион» у Шюке превратился в биллион, «тримиллионом» в триллион, а миллион в четвёртой степени стал «квадриллионом».

В системе Шюке число $10^{9}$, находившееся между миллионом и биллионом, не имело собственного названия и называлось просто «тысяча миллионов», аналогично $10^{15}$ называлось «тысяча биллионов», $10^{21}$ — «тысяча триллионов» и т.д. Это было не очень удобно, и в 1549 году французский писатель и учёный Жак Пелетье (Jacques Peletier du Mans, 1517–1582) предложил поименовать такие «промежуточные» числа при помощи тех же латинских префиксов, но окончания «-иллиард». Так, $10^{9}$ стало называться «миллиардом», $10^{15}$ — «биллиардом», $10^{21}$ — «триллиардом» и т.д.

Система Шюке-Пелетье постепенно стала популярна и ей стали пользоваться по всей Европе. Однако в XVII веке возникла неожиданная проблема. Оказалось, что некоторые учёные почему-то стали путаться и называть число $10^{9}$ не «миллиардом» или «тысячей миллионов», а «биллионом». Вскоре эта ошибка быстро распространилась, и возникла парадоксальная ситуация — «биллион» стал одновременно синонимом «миллиарда» ($10^{9}$) и «миллиона миллионов» ($10^{18}$).

Эта путаница продолжалась достаточно долго и привела к тому, что в США создали свою систему наименования больших чисел. По американской системе названия чисел строятся так же, как в системе Шюке, — латинский префикс и окончание «иллион». Однако величины этих чисел отличаются. Если в системе Шюке названия с окончанием «иллион» получали числа, которые являлись степенями миллиона, то в американской системе окончание «-иллион» получили степени тысячи. То есть тысяча миллионов ($1000^{3} = 10^{9}$) стала называться «биллионом», $1000^{4}$ ($10^{12}$) — «триллионом», $1000^{5}$ ($10^{15}$) — «квадриллионом» и т.д.

Старая же система наименования больших чисел продолжала использоваться в консервативной Великобритании и стала во всём мире называться «британской», несмотря на то, что она была придумана французами Шюке и Пелетье. Однако в 1970-х годах Великобритания официально перешла на «американскую систему», что привело к тому, что называть одну систему американской, а другую британской стало как-то странно. В результате, сейчас американскую систему обычно называют «короткой шкалой», а британскую систему или систему Шюке-Пелетье — «длинной шкалой».

Чтобы не запутаться, подведём промежуточный итог:

 

Название числа Значение по «короткой шкале» Значение по «длинной шкале»
Миллион $10^{6}$ $10^{6}$
Миллиард $10^{9}$ $10^{9}$
Биллион $10^{12}$
Биллиард $10^{15}$
Триллион $10^{12}$ $10^{18}$
Триллиард $10^{21}$
Квадриллион $10^{15}$ $10^{24}$
Квадриллиард $10^{27}$
Квинтиллион $10^{18}$ $10^{30}$
Квинтиллиард $10^{33}$
Секстиллион $10^{21}$ $10^{36}$
Секстиллиард $10^{39}$
Септиллион $10^{24}$ $10^{42}$
Септиллиард $10^{45}$
Октиллион $10^{27}$ $10^{48}$
Октиллиард $10^{51}$
Нониллион $10^{30}$ $10^{54}$
Нониллиард $10^{57}$
Дециллион $10^{33}$ $10^{60}$
Дециллиард $10^{63}$
Вигинтиллион $10^{63}$ $10^{120}$
Вигинтиллиард $10^{123}$
Центиллион $10^{303}$ $10^{600}$
Центиллиард $10^{603}$
Миллеиллион $10^{3003}$ $10^{6000}$
Миллеиллиард $10^{6003}$


Короткая шкала наименования используется сейчас в США, Великобритании, Канаде, Ирландии, Австралии, Бразилии и Пуэрто-Рико. В России, Дании, Турции и Болгарии также используется короткая шкала, за исключением того, что число $10^{9}$ называется не «биллион», а «миллиард». Длинная же шкала в настоящее время продолжает использоваться в большинстве остальных стран.

Любопытно, что у нас в стране окончательный переход к короткой шкале произошёл лишь во второй половине XX века. Так, например, ещё Яков Исидорович Перельман (1882–1942) в своей «Занимательной арифметике» упоминает параллельное существование в СССР двух шкал. Короткая шкала, согласно Перельману, использовалась в житейском обиходе и финансовых расчётах, а длинная — в научных книгах по астрономии и физике. Однако сейчас использовать в России длинную шкалу неправильно, хотя числа там получаются и большие.

Но вернемся к поиску самого большого числа. После дециллиона названия чисел получаются путём объединения приставок. Так получаются такие числа как ундециллион, дуодециллион, тредециллион, кваттордециллион, квиндециллион, сексдециллион, септемдециллион, октодециллион, новемдециллион и т.д. Однако эти названия нам уже не интересны, так как мы условились найти наибольшее число с собственным несоставным названием.

Если же мы обратимся к латинской грамматике, то обнаружим, что несоставных названий для чисел больше десяти у римлян было всего три: viginti — «двадцать», centum — «сто» и mille — «тысяча». Для чисел больше, чем «тысяча», собственных названий у римлян не имелось. Например, миллион ($1 000 000$) римляне называли «decies centena milia», то есть «десять раз по сотне тысяч». По правилу Шюке, эти три оставшихся латинских числительных дают нам такие названия для чисел как «вигинтиллион», «центиллион» и «миллеиллион».

Итак, мы выяснили, что по «короткой шкале» максимальное число, которое имеет собственное название и не является составным из меньших чисел — это «миллеиллион» ($10^{3003}$). Если бы в России была бы принята «длинная шкала» наименования чисел, то самым большим числом с собственным названием оказался бы «миллеиллиард» ($10^{6003}$).

Однако существуют названия и для ещё больших чисел.

 

Числа вне системы


Некоторые числа имеют собственное название, без какой-либо связи с системой наименования при помощи латинских префиксов. И таких чисел немало. Можно, к примеру, вспомнить число e, число «пи», дюжину, число зверя и пр. Однако так как нас сейчас интересуют большие числа, то рассмотрим лишь те числа с собственным несоставным названием, которые больше миллиона.

До XVII века на Руси применялась собственная система наименования чисел. Десятки тысяч назывались «тьмами», сотни тысяч — «легионами», миллионы — «леодрами», десятки миллионов — «воронами», а сотни миллионов — «колодами». Этот счёт до сотен миллионов назывался «малым счётом», а в некоторых рукописях авторами рассматривался и «великий счёт», в котором употреблялись те же названия для больших чисел, но уже с другим смыслом. Так, «тьма» означала уже не десять тысяч, а тысячу тысяч ($10^{6}$), «легион» — тьму тем ($10^{12}$); «леодр» — легион легионов ($10^{24}$), «ворон» — леодр леодров ($10^{48}$). «Колодой» же в великом славянском счёте почему-то называли не «ворон воронов» ($10^{96}$), а лишь десять «воронов», то есть $10^{49}$ (см. таблицу).

Число $10^{100}$ также имеет собственное название и придумал его девятилетний мальчик. А дело было так. В 1938 году американский математик Эдвард Кэснер (Edward Kasner, 1878–1955) гулял по парку с двумя своими племянниками и обсуждал с ними большие числа. В ходе разговора зашла речь о числе со ста нулями, у которого не было собственного названия. Один из племянников, девятилетний Милтон Сиротта (Milton Sirott), предложил назвать это число «гуголом» (googol). В 1940 году Эдвард Кэснер совместно с Джеймсом Ньюманом написал научно-популярную книгу «Математика и воображение», где и рассказал любителям математики о числе гугол. Еще более широкую известность гугол получил в конце 1990-х, благодаря названной в честь него поисковой машине Google.

Название для ещё большего числа, чем гугол, возникло в 1950 году благодаря отцу информатики Клоду Шеннону (Claude Elwood Shannon, 1916–2001). В своей статье «Программирование компьютера для игры в шахматы» он попытался оценить количество возможных вариантов шахматной игры. Согласно ему, каждая игра длится в среднем  ходов и на каждом ходе игрок делает выбор в среднем из вариантов, что соответствует $900^{40}$ (примерно равное $10^{118}$) вариантам игры. Эта работа стала широко известной, и данное число стало называться «числом Шеннона».

В известном буддийском трактате Джайна-сутры, относящемся к 100 году до н.э., встречается число «асанкхейя» равное $10^{140}$. Считается, что этому числу равно количество космических циклов, необходимых для обретения нирваны.

Девятилетний Милтон Сиротта вошёл в историю математики не только тем, что придумал число гугол, но и тем, что одновременно с ним предложил ещё одно число — «гуголплекс», которое равно  в степени «гугол», то есть единице с гуголом нулей.

Ещё два числа, большие, чем гуголплекс, были предложены южноафриканским математиком Стэнли Скьюзом (Stanley Skewes, 1899–1988) при доказательстве гипотезы Римана. Первое число, которое позже стали называть «первым числом Скьюза», равно $e$ в степени $e$ в степени $e$ в степени , то есть $e^{e^{e^{79}}} = 10^{10^{8{,}85\cdot 10^{33}}}$. Однако «второе число Скьюза» ещё больше и составляет $10^{10^{10^{1000}}}$.

Очевидно, что чем больше в числе степеней в степенях, тем сложнее записывать числа и понимать их значение при чтении. Мало того, возможно придумать такие числа (и они, кстати, уже придуманы), когда степени степеней просто не помещаются на страницу. Да, что на страницу! Они не уместятся даже в книгу размером с всю Вселенную! В таком случае встаёт вопрос как же такие числа записывать. Проблема, к счастью, разрешима, и математики разработали несколько принципов для записи таких чисел. Правда, каждый математик, кто задавался этой проблемой, придумывал свой способ записи, что привело к существованию нескольких не связанных друг с другом способов для записи больших чисел — это нотации Кнута, Конвея, Штейнгауза и др. С некоторыми из них нам сейчас предстоит разобраться.

 

Иные нотации


В 1938 году, в тот же год, когда девятилетний Милтон Сиротта придумал числа гугол и гуголплекс, в Польше вышла книжка о занимательной математике «Математический калейдоскоп», написанная Гуго Штейнгаузом (Hugo Dionizy Steinhaus, 1887–1972). Эта книга стала очень популярной, выдержала множество изданий и была переведена на многие языки, в том числе на английский и русский. В ней Штейнгауз, обсуждая большие числа, предлагает простой способ их записи, используя три геометрические фигуры — треугольник, квадрат и круг:

«$n$ в треугольнике» означает «$n^n$»,
«$n$ в квадрате» означает «$n$ в $n$ треугольниках», 
«$n$ в круге» означает «$n$ в $n$ квадратах».

Объясняя этот способ записи, Штейнгауз придумывает число «мега», равное 0 в круге и показывает, что оно равно  в «квадрате» или  в  треугольниках. Чтобы подсчитать его, надо  возвести в степень , получившееся число $3{,}2\cdot 10^{616}$ возвести в степень $3{,}2\cdot 10^{616}$, затем получившееся число возвести в степень получившегося числа и так далее всего возводить в степень  раз. К примеру, калькулятор в MS Windows не может подсчитать из-за переполнения  даже в двух треугольниках. Приблизительно же это огромное число составляет $10^{10^{2\cdot 10^{619}}}$.

Определив число «мега», Штейнгауз предлагает уже читателям самостоятельно оценить другое число — «медзон», равное 0 в круге. В другом издании книги Штейнгауз вместо медзона предлагает оценить ещё большее число — «мегистон», равное  в круге. Вслед за Штейнгаузом я также порекомендую читателям на время оторваться от этого текста и самим попробовать записать эти числа при помощи обычных степеней, чтобы почувствовать их гигантскую величину.

Впрочем, есть названия и для больших чисел. Так, канадский математик Лео Мозер (Leo Moser, 1921–1970) доработал нотацию Штейнгауза, которая была ограничена тем, что, если бы потребовалось записать числа много большие мегистона, то возникли бы трудности и неудобства, так как пришлось бы рисовать множество кругов один внутри другого. Мозер предложил после квадратов рисовать не круги, а пятиугольники, затем шестиугольники и так далее. Также он предложил формальную запись для этих многоугольников, чтобы можно было записывать числа, не рисуя сложных рисунков. Нотация Мозера выглядит так:

«$n$ треугольнике» = $n^n$ = $n[3]$
«$n$ в квадрате» = $n[4]$ = «$n$ в $n$ треугольниках» = $n[3]n$;
«$n$ в пятиугольнике» = $n[5]$ = «$n$ в $n$ квадратах» = $n[4]n$;
«$n$ в $k+1$-угольнике» = $n[k+1]$ = «$n$ в $n$ $k$-угольниках» = $n[k]n$.

Таким образом, по нотации Мозера штейнгаузовский «мега» записывается как $2[5]$, «медзон» как $3[5]$, а «мегистон» как $10[5]$. Кроме того, Лео Мозер предложил называть многоугольник с числом сторон равным меге — «мегагоном». И предложил число «0 в мегагоне», то есть $2[2[5]]$. Это число стало известным как число Мозера или просто как «мозер».

Но даже и «мозер» не самое большое число. Итак, самым большим числом, когда-либо применявшимся в математическом доказательстве, является «число Грэма». Впервые это число было использовано американским математиком Рональдом Грэмом (Ronald Graham) в 1977 году при доказательстве одной оценки в теории Рамсея, а именно при подсчёте размерности определённых $n$-мерных бихроматических гиперкубов. Известность же число Грэма получило лишь после рассказа о нём в вышедшей в 1989 году книге Мартина Гарднера «От мозаик Пенроуза к надёжным шифрам».

Чтобы объяснить, как велико число Грэма, придётся объяснить ещё один способ записи больших чисел, введённый Дональдом Кнутом в 1976 году. Американский профессор Дональд Кнут придумал понятие сверхстепень, которое предложил записывать стрелками, направленными вверх.

Обычные арифметические операции — сложение, умножение и возведение в степень — естественным образом могут быть расширены в последовательность гипероператоров следующим образом.

Умножение натуральных чисел может быть определено через повторно производимую операцию сложения («сложить $b$ копий числа $a$»):

$\begin{matrix}a\times b&=&\underbrace {a+a+\dots +a}\\&&b\text{ раз по }a\end{matrix}$

Например,

$\begin{matrix}4\times 3&=&\underbrace {4+4+4}&=&12\\&&3\text{ раза по }4\end{matrix}$

Возведение числа $a$ в степень $b$ может быть определено как повторно производимая операция умножения («перемножить $b$ копий числа $a$»), и в обозначениях Кнута эта запись выглядит как одиночная стрелочка, указывающая вверх:

$\begin{matrix}a\uparrow b=a^{b}=&\underbrace {a\times a\times \dots \times a}\\&b\text{ раз по }a\end{matrix}$

Например,

$\begin{matrix}4\uparrow 3=4^{3}=&\underbrace {4\times 4\times 4}&=&64\\&3\text{ раза по }4\end{matrix}$

Такая одиночная стрелка вверх использовалась в качестве значка степени в языке программирования Алгол.

Продолжая далее последовательность операций за пределы возведения в степень, Дональд Кнут ввёл понятие оператора «двойная стрелочка» для записи тетрации (многократного возведения в степень).

$\begin{matrix}a\uparrow \uparrow b&={\ ^{{b}}a}=&\underbrace {a^{{a^{{{}^{{.\,^{{.\,^{{.\,^{a}}}}}}}}}}}}&=&\underbrace {a\uparrow (a\uparrow (\dots \uparrow a))}\\&&b\text{ раз по }a&&b\text{ раз по }a\end{matrix}$

Например,

$\begin{matrix}4\uparrow \uparrow 3&={\ ^{{3}}4}=&\underbrace {4^{{4^{4}}}}&=&\underbrace {4\uparrow (4\uparrow 4)}&=&4^{{256}}\approx 1.3\times 10^{{154}}\\&&3\text{ раза по }4&&3\text{ раза по }4\end{matrix}$.

Здесь и далее вычисление выражения всегда идёт справа налево, также и стрелочные операторы Кнута (как и операция возведение в степень) по определению обладают правой ассоциативностью (очерёдностью справа налево). Согласно данному определению,

$$ 3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27\\ 3\uparrow \uparrow 3=3^{{3^{3}}}=3^{{27}}=7~625~597~484~987\\ 3\uparrow \uparrow 4=3^{{3^{{3^{3}}}}}=3^{{7625597484987}}\\ 3\uparrow \uparrow 5=3^{{3^{{3^{{3^{3}}}}}}}=3^{{3^{{7625597484987}}}} $$

и так далее.

Уже это приводит к довольно большим числам, но система обозначений на этом не заканчивается. Оператор «тройная стрелочка» используется для записи повторного возведения в степень оператора «двойная стрелочка» (также известного как «пентация»):

$\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow b=&\underbrace {a_{{}}\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow a))}\\&b\text{ раз по }a\end{matrix}$

затем оператора «четверная стрелочка»:

$\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=&\underbrace {a_{{}}\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow \uparrow a))}\\&b\text{ раз по }a\end{matrix}$

и т. д. Общее правило оператор «$n$-я стрелочка», в соответствии с правой ассоциативностью, продолжается вправо в последовательную серию операторов «$n-1$ стрелочка». Символически это можно записать следующим образом,

$\begin{matrix}a\ \underbrace {\uparrow _{{}}\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow }\ b=a\ \underbrace {\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow }\ a\ \underbrace {\uparrow _{{}}\!\!\dots \!\!\uparrow }\ a\ \dots \ a\ \underbrace {\uparrow _{{}}\!\!\dots \!\!\uparrow }\ a\\\quad \ \ \,n\qquad \ \ \ \underbrace {\quad n_{{}}\!-\!\!1\quad \ \,n\!-\!\!1\qquad \quad \ \ \ \,n\!-\!\!1\ \ \ }\\\qquad \qquad \quad \ \ b\text{ раз по }a\end{matrix}$

Например:

$3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7~625~597~484~987$

$\begin{matrix}3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3)=&\underbrace {3 \uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&3\uparrow 3\uparrow 3\text{ раза по }3\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3 \uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&\text{7625597484987 раз по 3}\end{matrix}$

Форма обозначения $a\uparrow^{n}b$ обычно используется для записи $a\uparrow \uparrow \dots \uparrow b$ с $n$ стрелочками.

Некоторые числа настолько большие, что даже запись стрелочками Кнута становится слишком громоздкой; в этом случае использование оператора $n$-стрелочка $\uparrow^{n}$ предпочтительней (и также для описания с изменяемым числом стрелочек), или эквивалентно, гипероператорам. Но некоторые числа настолько огромны, что даже подобная запись недостаточна. Например, число Грэма.

При использовании Стрелочной нотации Кнута число Грэма  может быть записано как

$\left.{\begin{matrix}G&=&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow }3\\&&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow }3\\&&\underbrace {\qquad \;\;\vdots \qquad \;\;}\\&&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdot \cdot \uparrow }3\\&&3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3\end{matrix}}\right\}\text{64 слоя}$,
где количество стрелок в каждом слое, начиная с верхнего, определяется числом в следующем слое, то есть $G=g_{64}$, где $g_{1}=3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3,\ g_{n}=3\uparrow ^{g_{n-1}}3$, где верхний индекс у стрелки показывает общее количество стрелок. Другими словами,  вычисляется в  шага: на первом шаге мы вычисляем $g_{1}$ с четырьмя стрелками между тройками, на втором — $g_{2}$ с $g_{1}$ стрелками между тройками, на третьем — $g_{3}$ с $g_{2}$ стрелками между тройками и так далее; в конце мы вычисляем $G=g_{64}$ с $g_{63}$ стрелок между тройками.

Это может быть записано как $G=f^{64}(4)$, где $f(n)=3\uparrow^{n}3$, где верхний индекс у $f$ означает итерации функций. 

Если другим числам с «именами» можно подобрать соответствующее число объектов (например, количество звезд в видимой части Вселенной оценивается в  секстильонов — $7\cdot 10^{22}$, а количество атомов, из которых состоит земной шар имеет порядок додекальонов), то гугол уже «виртуальный», не говоря уже об числе Грэма. Масштаб только первого члена $g_{1}$ настолько велик, что его практически невозможно осознать, хотя запись выше относительно проста для понимания. Хотя $n$ — это всего лишь количество башен в этой формуле для $g_{1}$, уже это число много больше количества объёмов Планка (наименьший возможный физический объём), которые содержатся в наблюдаемой вселенной (примерно $8{,}5\cdot 10^{185}$). После первого члена нас ожидают ещё  члена стремительно растущей последовательности.

Электронный журнал
Статистика
Яндекс.Метрика
Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0


Кто был сегодня:

Наши победы


Сайт проверен
Архив новостей
Сайт школы
Школа №2 города Липецка
Полезные ссылки
Наш опрос

Оцените наш сайт
Всего ответов: 433

Какой у вас любимый предмет?
Всего ответов: 464


Сайт создан в системе uCoz | © Официальный сайт 11а класса МБОУ СШ №2 города Липецка, 2012 - 2017.